\( x^2 + 4x + 2y = 0 \) পরাবৃত্তের শীর্ষ বিন্দু কোনটি?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[x^2 + 4x + 2y = 0\]

প্রথমে, আমরা সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের শীর্ষ বিন্দু নির্ণয়ের জন্য মানানসই রূপে রূপান্তর করব।

প্রথমে, x এর জন্য পুরো অংশটি সম্পূর্ণ স্কোয়ার রূপে রূপান্তর করি:

\[x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x + 2)^2 - 4\]

এখন, সমীকরণটি লিখি:

\[(x + 2)^2 - 4 + 2y = 0\]

এটি সমাধান করি:

\[(x + 2)^2 + 2y = 4\]

অর্থাৎ,

\[2y = 4 - (x + 2)^2\]

অথবা,

\[y = 2 - \frac{(x + 2)^2}{2}\]

এটি একটি পরাবৃত্তের কনকারের আকারের সমীকরণ, যেখানে শীর্ষ বিন্দুটি নির্ণয় করতে হলে, আমরা \(\frac{(x + 2)^2}{2}\) এর মান শূন্য করলে পেয়ে যাব।

অর্থাৎ, শ???র্ষ বিন্দুটি হবে যখন:

\[(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\]

এখন, y এর মান নির্ণয় করি:

\[y = 2 - \frac{0}{2} = 2\]

সুতরাং, শীর্ষ বিন্দুটি হলো \(\boxed{(-2, 2)}\)।