lim_(xrarr0) (1-cosx)/(x²)=?
SAUউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রঅন্তরীকরণলিমিট হিসেবে অন্তরজ (Topic Practice)SAU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
1/2
Explanation:
Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করে পাই,
\( 1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2} \)
সুতরাং,
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \)
এখন, \( \frac{x}{2} = u \) ধরি। সুতরাং, \( x = 2u \) এবং \( x \to 0 \) হলে \( u \to 0 \) হবে।
তাহলে,
\( \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{2\sin^2 u}{(2u)^2} \)
\( = \lim_{u \to 0} \frac{2\sin^2 u}{4u^2} \)
\( = \frac{2}{4} \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} \)
\( = \frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 \)
আমরা জানি, \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 \)
সুতরাং,
\( \frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2} \)
অতএব, \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \) 🥳
উত্তর:
1/2