যদি \( y = \sin^{-1}(\sin x) \) হয়, তবে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কোনটি?
JUUnit-ASet-6উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রঅন্তরীকরণবিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
1
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: যদি \( y = \sin^{-1}(\sin x) \) হয়, তবে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কোনটি?
উত্তর: "1"
সমাধান:
আমরা জানি, \( y = \sin^{-1}(\sin x) \)।
প্রথমত, \(\sin^{-1}\) বা \(\arcsin\) এর ডেরিভেটিভ হল:
\[ \frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{dx} \]তাহলে, \( y = \arcsin(\sin x) \) হলে:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sin x)^2}} \cdot \cos x \]এখানে, \(\sqrt{1 - \sin^2 x} = |\cos x|\), তাই:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{|\cos x|} = \begin{cases} 1, & \text{যখন } \cos x > 0 \\ -1, & \text{যখন } \cos x < 0 \end{cases} \]তবে, \( y = \arcsin(\sin x) \) এর জন্য, সাধারণত \( y \) এর সীমা \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \)।
অর্থাৎ, \( y \) এর ডোমেইন অনুযায়ী, \( y \) এর গ্রাফের টান অনুযায়ী, \( \frac{dy}{dx} = 1 \) যেখানে \( \cos x > 0 \), অর্থাৎ যখন \( x \) এর মান \( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)।
অতএব, মূলত, যখন \( y = \arcsin(\sin x) \) এর ডেরিভেটিভ গণনা করা হয়, তখন:
\[ \boxed{\frac{dy}{dx} = 1} \]অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান হলো 1।