তেজস্ক্রিয় ²⁵Na এর অর্ধায়ু 15 দিন। উহার 60% ক্ষয় হতে কত দিন লাগবে?

Explanation: Solve: \(\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{15} = 0.0462\) \(N = N_0 e^{-\lambda t}\) \( \implies 40\% \, \text{of} \, N_0 = N_0 e^{-\lambda t}\) \( \implies 0.4 N_0 = N_0 e^{-\lambda t}\) \( \implies \ln (0.4) = -\lambda t \, \text{(উভয়পক্ষে লন নিয়ে)}\) \( \implies t = \frac{\ln (0.4)}{-0.0462} = 19.83 \, \text{দিন}\) Ans. (C)

Another Explanation (5): ```html

তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান

এখানে, তেজস্ক্রিয় \(^{25}Na\) এর অর্ধায়ু \( T_{1/2} = 15 \) দিন। আমাদের নির্ণয় করতে হবে কত দিনে \( 60\% \) ক্ষয় হবে।

প্রথমে, ক্ষয় ধ্রুবক \( \lambda \) নির্ণয় করি। আমরা জানি,

\[ \lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} \]

সুতরাং,

\[ \lambda = \frac{0.693}{15} = 0.0462 \text{ দিন}^{-1} \]

এখন, মনে করি \( t \) দিনে \( 60\% \) ক্ষয় হয়। তার মানে \( 40\% \) অবশিষ্ট থাকে। তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূত্রানুসারে,

\[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

যেখানে, \( N(t) \) হলো \( t \) সময় পরে অবশিষ্ট পরিমাণ এবং \( N_0 \) হলো আদি পরিমাণ। যেহেতু \( 60\% \) ক্ষয় হয়েছে, তাই \( N(t) = 0.4 N_0 \)। সুতরাং,

\[ 0.4 N_0 = N_0 e^{-\lambda t} \]

উভয় ???ক্ষ থেকে \( N_0 \) বাদ দিয়ে পাই,

\[ 0.4 = e^{-\lambda t} \]

এখন, উভয় পক্ষে স্বাভাবিক লগ (ln) নিয়ে পাই,

\[ \ln(0.4) = -\lambda t \]

সুতরাং,

\[ t = \frac{-\ln(0.4)}{\lambda} \]

আমরা \( \lambda \) এর মান বসিয়ে পাই,

\[ t = \frac{-\ln(0.4)}{0.0462} = \frac{-(-0.9163)}{0.0462} = \frac{0.9163}{0.0462} \approx 19.83 \text{ দিন} \]

অতএব, \( 60\% \) ক্ষয় হতে প্রায় \( 19.83 \) দিন লাগবে। 🎉

```