Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\[
2 \mid \begin{bmatrix} 2 & 5 & x \\ 3 & 6 & y \\ 4 & 7 & z \end{bmatrix}
\]
অর্থাৎ, এই ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্টের মান 2 এর দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ,
\[
\det \begin{bmatrix} 2 & 5 & x \\ 3 & 6 & y \\ 4 & 7 & z \end{bmatrix} \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
অথবা,
\[
\det \begin{bmatrix} 2 & 5 & x \\ 3 & 6 & y \\ 4 & 7 & z \end{bmatrix} = 2k, \ \text{কোন integer } k \text{ এর জন্য।}
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো, এই ডিটারমিনেন্টের মান খুঁজে বের করা এবং দেখানো যে, সেটি কোন নির্দিষ্ট মান এর সমান।
প্রথমত, ডিটারমিনেন্টের মান নির্ণয় করি:
\[
D = \begin{vmatrix} 2 & 5 & x \\ 3 & 6 & y \\ 4 & 7 & z \end{vmatrix}
\]
ডিটারমিনেন্টের সূত্র অনুযায়ী,
\[
D = 2 \begin{vmatrix} 6 & y \\ 7 & z \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 3 & y \\ 4 & z \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \end{vmatrix}
\]
প্রতিটি 2x2 ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্ট নির্ণয় করি:
\[
\begin{aligned}
\begin{vmatrix} 6 & y \\ 7 & z \end{vmatrix} &= 6z - 7y \\
\begin{vmatrix} 3 & y \\ 4 & z \end{vmatrix} &= 3z - 4y \\
\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} &= 3 \times 7 - 6 \times 4 = 21 - 24 = -3
\end{aligned}
\]
অতএব,
\[
D = 2(6z - 7y) - 5(3z - 4y) + x(-3)
\]
বিস্তার করি:
\[
D = 12z - 14y - 15z + 20y - 3x
\]
সরলীকরণ করি:
\[
D = (12z - 15z) + (-14y + 20y) - 3x = -3z + 6y - 3x
\]
অর্থাৎ,
\[
D = -3z + 6y - 3x
\]
এখন, যেহেতু ডিটারমিনেন্ট 2 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে:
\[
-3z + 6y - 3x \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
অথবা,
\[
D = -3z + 6y - 3x
\]
এটি 2 এর সাথে বিভাজ্য মানে, অর্থাৎ এই সমীকৃতি 2 দ্বারা বিভাজ্য। কারণ ডিটারমিনেন্টের মূল গুণনীয়ক 3, অশোধিতভাবে দেখলে:
\[
D = -3z + 6y - 3x = -3(z - 2y + x)
\]
তাই,
\[
D = -3(z - 2y + x)
\]
এখন, যদি \(D\) 2 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে,
\[
-3(z - 2y + x) \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
অর্থাৎ,
\[
-3(z - 2y + x) \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
কিন্তু 3 এর সাথে 2 এর মৌলিক গুণফল 3, যা 2 এর সাথে বিভাজ্য নয়। অতএব, এই সমীকরণের জন্য,
\[
-3 \equiv 1 \ (\text{mod } 2)
\]
অর্থাৎ, মূলত,
\[
D \equiv (z - 2y + x) \ (\text{mod } 2)
\]
অর্থাৎ, ডিটারমিনেন্ট 2 দ্বারা বিভাজ্য হলে,
\[
z - 2y + x \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
অর্থাৎ,
\[
z - 2y + x \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
অর্থাৎ,
\[
z + x \equiv 0 \ (\text{mod } 2) \quad \text{(যেহেতু } 2y \equiv 0 \ (\text{mod } 2))
\]
অতএব, ডিটারমিনেন্টের মানটি সেই সমন্বয় যেখানে,
\[
D = -3(z - 2y + x) = -3(z + x - 2y)
\]
যেহেতু 2 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে ডিটারমিনেন্টের মান অবশ্যই:
\[
D = 2 \times (\text{some integer})
\]
অর্থাৎ, ডিটারমিনেন্টের মান নিদিষ্টভাবে:
\[
\boxed{
|(2, 10, x), (3, 12, y), (4, 14, z)| = -3(z + x - 2y)
}
\]
এবং এই মান 2 দ্বারা বিভাজ্য মানে,
\[
z + x - 2y \equiv 0 \ (\text{mod } 2)
\]
এই শর্ত পূরণ হলে ডিটারমিনেন্টের মানটি হবে:
\[
\boxed{
| (2, 10, x), (3, 12, y), (4, 14, z) | = -3(z + x - 2y)
}
\]
এবং, উপরের সমীকরণ অনুযায়ী, এটি সমান যা:
\[
| (2, 10, x), (3, 12, y), (4, 14, z) |
\]
**সুতরাং, নির্ণায়ক যা সমান:**
```html
```
