Z = x + iy, x ও y দুটি বাস্তব সংখ্যা -
- ।Z। = barz
- Z barz একটি বৃওের সমীকরণ
- Z + barz একটি বাস্তব সংখ্যা
সঠিক উত্তরঃ
D.
i,ii ও iii
Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান
প্রদত্ত: \( Z = x + iy \), যেখানে \( x, y \) বাস্তব সংখ্যা।- \( Z = \overline{z} \) সমীকরণটি পরীক্ষা করি।
অর্থাৎ, \( x + iy = x - iy \) (কারণ, \(\overline{z} = x - iy\))
দুটি সমান হলে:
\[ x + iy = x - iy \Rightarrow iy = - iy \Rightarrow 2iy = 0 \Rightarrow y = 0 \]অর্থাৎ, এই সমীকরণের জন্য, \( y = 0 \) হয়।
অতএব, \( Z = x + i \cdot 0 = x \), অর্থাৎ, \( Z \) বাস্তব সংখ্যা।
উপসংহার (i):
সমীকরণ \( Z = \overline{z} \) এর জন্য, \( Z \) একটি বাস্তব সংখ্যা।
- \( Z \cdot \overline{z} \) সমীকরণটি পরীক্ষা করি।
প্রথমে, \( Z = x + iy \) ও \( \overline{z} = x - iy \)
অতএব,
\[ Z \cdot \overline{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 \]কারণ, \( i^2 = -1 \), তাই:
\[ Z \cdot \overline{z} = x^2 - (-1) y^2 = x^2 + y^2 \]এটি একটি বাস্তব সংখ্যা, কারণ \( x^2 + y^2 \) সবসময়ই বাস্তব।
উপসংহার (ii):
সমীকরণ \( Z \cdot \overline{z} \) একটি বাস্তব সংখ্যা।
- \( Z + \overline{z} \) সমীকরণটি পরীক্ষা করি।
প্রতিটি,
\[ Z + \overline{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x \]অতএব, এটি অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা, কারণ \( 2x \) বাস্তব।
উপসংহার (iii):
সমীকরণ \( Z + \overline{z} \) একটি বাস্তব সংখ্যা।
চূড়ান্ত উত্তর:
উপরের বিশ্লেষণের ভিত্তিতে, সমস্ত তিনটি শর্তই সত্য।
সুতরাং, উত্তর: i, ii ও iii