Evaluate lim_(x→0)(1+5x)^((1+5x)/(10x)) .

প্রশ্ন: Evaluate \( \lim_{x \to 0} (1+5x)^{\frac{1+5x}{10x}} \)

সমাধান:

ধরি, \( L = \lim_{x \to 0} (1+5x)^{\frac{1+5x}{10x}} \)

উভয় পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই,

\( \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1+5x}{10x} \ln(1+5x) \)

\( \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1+5x}{10x} \ln(1+5x) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x) + 5x \ln(1+5x)}{10x} \)

এখন, \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x)}{10x} \) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \)। সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x)}{5x} = 1 \)

তাহলে, \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x)}{10x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{10x} \cdot \frac{\ln(1+5x)}{5x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)

আবার, \( \lim_{x \to 0} \frac{5x \ln(1+5x)}{10x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{10x} \ln(1+5x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \ln(1+5x) = \frac{1}{2} \ln(1+0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \)

সুতরাং,

\( \ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+5x)}{10x} + \lim_{x \to 0} \frac{5x \ln(1+5x)}{10x} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \)

অতএব, \( L = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \)

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} (1+5x)^{\frac{1+5x}{10x}} = \sqrt{e} \) 🥳