x² + y² - 4x - 6y = 0 বৃত্তটি—

1. মূলবিন্দুগামী
2. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে
3. y-অক্ষকে (0, -6) বিন্দুতে ছেদ করে

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0 \] আমরা এই সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গ দিয়ে রূপান্তর করব। প্রথমে, \(x\) ও \(y\) এর জন্য পৃথক পৃথক সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করি: \[ x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 \] \[ y^2 - 6y = (y^2 - 6y + 9) - 9 = (y - 3)^2 - 9 \] এখন মূল সমীকরণে স্থানান্তর করলে: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 = 0 \] অর্থাৎ, \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 \] এখানে, কেন্দ্র \(C(2, 3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{13}\)। এখন, অপশনগুলো বিশ্লেষণ করি: **i. মূলবিন্দুগামী** একটি বৃত্তের মূলবিন্দু (center) তার নিজস্ব কেন্দ্রের উপর থাকে। যেহেতু কেন্দ্র \( (2, 3) \), তাই এটি মূলবিন্দু নয়। অতএব, অপশন i ভুল। **ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে** x-অক্ষের সমীকরণ হলো \( y = 0 \)। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দূরত্ব: \[ d = |y_{center}| = |3| = 3 \] যেহেতু ব্যাসার্ধ \( \sqrt{13} \approx 3.605 \), যা 3 থেকে বড়, তাই বৃত্তটি x-অক্ষকে ছেদ করে। অতএব, বৃত্তটি x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশের মধ্যে খণ্ডন করে না; বরং এটি x-অক্ষের কাছাকাছি, তবে 4 অংশের মধ্যে নয়। অতএব, অপশন ii ভুল বলে মনে হয়। তবে, এই প্রশ্নে উল্লেখ "x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে" অর্থাৎ, x-অক্ষের সাথে ছেদ করে এবং x-অক্ষের কিছু অংশে অবস্থিত, যা সত্য। যেহেতু দূরত্ব 3, তাই বৃত্তটি x-অক্ষের খুবই কাছাকাছি, এবং 0 থেকে 4 পর্যন্ত x-অক্ষের উপর বৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলি আছে। সুতরাং, অপশন ii সত্য। **iii. y-অক্ষকে (0, -6) বিন্দুতে ছেদ করে** y-অক্ষের সমীকরণ: \( x=0 \) বৃত্তের সমীকরণে \( x=0 \) বসিয়ে: \[ (0 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 \] \[ 4 + (y - 3)^2 = 13 \] \[ (y - 3)^2 = 9 \] \[ y - 3 = \pm 3 \] \[ y = 3 + 3 = 6 \quad \text{বা} \quad y = 3 - 3 = 0 \] অর্থাৎ, y-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি: \[ (0, 6) \quad \text{এবং} \quad (0, 0) \] কিন্তু প্রশ্নে উল্লেখ হয়েছে, (0, -6)। এটি ভুল, কারণ y-অক্ষের ছেদ বিন্দুটি (0, 6)। অতএব, অপশন iii ভুল। --- ### উপসংহার: অপশন i ভুল, অপশন ii সত্য, অপশন iii ভুল। সুতরাং, সঠিক উত্তর: **"ii"**। তবে প্রশ্নে উল্লেখ করেছে "i ও ii"। তবে, বিশ্লেষণে দেখা যায়, শুধুমাত্র ii সঠিক। **তাই, সঠিক উত্তরটি হবে:** **"ii"।** ---

উপসংহার:

অতএব, বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী নয় এবং x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে, তবে y-অক্ষকে (0, 6) বিন্দুতে ছেদ করে না।