y²=4ax এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

প্রশ্ন: y² = 4ax এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

উত্তর: 4a

সমাধান:

প্রথমে, দোহনের সমীকরণ:
\( y^2 = 4ax \)

এটি একটি উলম্ব হাইপারবোলা যার কেন্দ্র (অর্থাৎ, উপকেন্দ্রিক) বিন্দুটি হলো \((a, 0)\)। এটি প্যারামেট্রিক রূপে লেখা যায়:

\( x = at^2 \)
\( y = 2at \)

উপকেন্দ্রিক থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, আমরা বুঝি যে, উপকেন্দ্রিক বিন্দুটি হলো \((a, 0)\)।

বিন্দু থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব:
\( \text{Distance} = \sqrt{(a - a)^2 + (0 - 0)^2} = 0 \)

তাই, উপকেন্দ্রিক বিন্দুটি হল মূল কেন্দ্রের \((a, 0)\)।

একটি সাধারণ লম্বের সমীকরণ:
\( y = m(x - a) \)

এখন, এই লম্বটির সাথে উলম্ব হাইপারবোলার টানেল তৈরি ক??তে, আমরা জানি যে, এই লম্বের ধ্রুবক দূরত্ব মূল হাইপারবোলার থেকে।

এটা জানা যায় যে, উলম্ব লম্বের দৈর্ঘ্য (অর্থাৎ, উপকেন্দ্রিক থেকে হাইপারবোলার পর্যন্ত সোজা লম্বের দৈর্ঘ্য) হল 4a।

অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 4a.