lim_(x→0)2^xsin"b/2^x=? 

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = ? \)

উত্তর: \( b \)

সমাধান:

ধরি, \( y = \frac{1}{2^x} \)। সুতরাং, যখন \( x \to 0 \), \( y \to \infty \)।

অতএব, আমাদের লিমিটটি হবে:

\( \lim_{x \to 0} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = \lim_{y \to \infty} \frac{1}{y} \sin(by) \)

আমরা জানি, \( -1 \le \sin(by) \le 1 \)। সুতরাং,

\( -\frac{1}{y} \le \frac{\sin(by)}{y} \le \frac{1}{y} \)

যেহেতু \( \lim_{y \to \infty} -\frac{1}{y} = 0 \) এবং \( \lim_{y \to \infty} \frac{1}{y} = 0 \), সুতরাং স্যান্ডউইচ থিওরেম (Sandwich Theorem) অনুসারে,

\( \lim_{y \to \infty} \frac{\sin(by)}{y} = 0 \)

🤔🤔🤔 এখানে একটু সমস্যা আছে। আমরা সরাসরি এভাবে বলতে পারিনা।

আবার, ধরি \(z = \frac{b}{2^x}\). তাহলে যখন \(x \to 0\), \(z \to b\). সুতরাং \(2^x = \frac{b}{z}\).

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = \lim_{z \to b} \frac{b}{z} \sin(z) = \frac{b}{b} \sin(b) = \sin(b) \).

🧐🧐🧐 এখানেও উত্তর \(b\) এর সাথে মিলছে না।

আরেকভাবে চেষ্টা করি: ধরি \(u = 2^x\). তাহলে যখন \(x \to 0\), \(u \to 1\). সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = \lim_{u \to 1} u \sin\left(\frac{b}{u}\right) = 1 \cdot \sin\left(\frac{b}{1}\right) = \sin(b) \).

🤔🤔🤔 এখনো \(b\) আসছে না।

আমরা যদি \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) এই সূত্র ব্যবহার করতে চাই, তাহলে আমাদের \( \frac{b}{2^x} \) কে \(x\) এর মতো বানাতে হবে।

ধরি \( y = \frac{b}{2^x} \). তাহলে \( 2^x = \frac{b}{y} \). সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = \lim_{y \to b} \frac{b}{y} \sin(y) = \frac{b}{b} \sin(b) = \sin(b) \).

🙄🙄🙄 উত্তর \( b \) নয়। প্রশ্নটি সম্ভবত ভুল আছে। যদি প্রশ্নটি \( \lim_{x \to \infty} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) \) হতো, তাহলে উত্তর \(b\) হতে পারত।

যদি \( x \to \infty \) হয়, তাহলে \( 2^x \to \infty \) এবং \( \frac{b}{2^x} \to 0 \)।

সুতরাং, \( \lim_{x \to \infty} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = \lim_{x \to \infty} b \cdot \frac{\sin\left(\frac{b}{2^x}\right)}{\frac{b}{2^x}} = b \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{b}{2^x}\right)}{\frac{b}{2^x}} \).

যেহেতু \( \lim_{x \to \infty} \frac{b}{2^x} = 0 \), তাই \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{b}{2^x}\right)}{\frac{b}{2^x}} = 1 \)।

অতএব, \( \lim_{x \to \infty} 2^x \sin\left(\frac{b}{2^x}\right) = b \cdot 1 = b \).