5x - 12y - 9 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল, x² + y² - 8x - 10y - 8 = 0 বৃৃৃৃৃৃৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ-

Question

Accepted Answer

সঠিক উত্তর: 5x - 12y + 131 = 0, 5x - 12y - 51 = 0। ব্যাখ্যা: Hints:  
$ax + by + c = 0$ সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ $ax + by + k = 0$  
কোন বৃত্তের কেন্দ্র হতে সরল রেখার দূরত্ব = ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ  
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ বৃত্তের কেন্দ্র $(-g, -f)$;  
ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$  

Solve: $5x - 12y - 9 = 0$ সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,  
$5x - 12y + k = 0 \, \, \, \text{(i)}$  
$x^2 + y^2 - 8x - 10y - 8 = 0$ বৃত্তের কেন্দ্র $(4, 5)$  
এবং ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2 - (-8)}$  
$= \sqrt{16 + 25 + 8} = \sqrt{49} = 7$  
এখন, $(4, 5)$ কেন্দ্র হতে (i) নং রেখার দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ  
$$
\Rightarrow \frac{|4 \times 5 - 12 \times 5 + k|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = 7 \Rightarrow |k - 40| = 91 
$$  
$\Rightarrow k - 40 = \pm 91 \Rightarrow k = 131 \, \text{অথবা} \, -51$  
$k$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,  
$5x - 12y + 131 = 0 \, \text{অথবা} \, 5x - 12y - 51 = 0$  

Ans. (A)  

ব্যাখ্যা:  
প্রথমে স্পর্শকের সমীকরণ (যা $5x - 12y - 9 = 0$ রেখার সমান্তরাল) বের করা হয়েছে যেখানে $k$ হচ্ছে Unknown Value। এরপরে উক্ত বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ধারণ করে স্পর্শক হওয়ার শর্তে $k$ এর মান বের করে স্পর্শকের সমীকরণকে সমাধান করা হয়েছে।