\( m \) এর মান কত হলে \( mx + y = 0 \) সরলরেখা \( x^2 + y^2 = px + qy \) বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

Explanation: Hints: কোনো সরলরেখা কোনো বৃত্তকে স্পর্শ করলে কেন্দ্র থেকে ঐ সরলরেখার (স্পর্শক) লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান। Solve: \(x^2 + y^2 - px - qy = 0\) বৃত্তের কেন্দ্র \(\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2}\right)\), বৃত্তের ব্যাসার্ধ \[ \sqrt{\left(-\frac{p}{2}\right)^2 + \left(-\frac{q}{2}\right)^2 - 0} = \sqrt{\frac{p^2+q^2}{4}} = \frac{\sqrt{p^2 + q^2}}{2} \] কেন্দ্র থেকে \(mx + y = 0\) রেখার লম্ব দূরত্ব = ব্যাসার্ধ \[ \left| \frac{\frac{mp}{2} + \frac{q}{2}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = \frac{\sqrt{p^2 + q^2}}{2} \] \[ \implies \frac{m^2p^2 + 2mpq + q^2}{4(m^2 + 1)} = \frac{p^2 + q^2}{4} \] \[ \implies m^2p^2 + 2mpq + q^2 = m^2p^2 + m^2q^2 + p^2 + q^2 \] \[ \implies m^2q^2 - 2mpq + p^2 = 0 \implies (mq - p)^2 = 0 \implies mq - p = 0 \implies m = \frac{p}{q} \] Ans. (C)

Another Explanation (5): ```html

দেওয়া আছে, সরলরেখা \( mx + y = 0 \) এবং বৃত্ত \( x^2 + y^2 = px + qy \)।

বৃত্তের সমীকরণকে লেখা যায়:

\( x^2 + y^2 - px - qy = 0 \)

সরলরেখাটিকে লেখা যায়:

\( y = -mx \)

সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করলে, সরলরেখার সমীকরণ বৃত্তের সমীকরণে বসালে \( x \) এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে।

\( x^2 + (-mx)^2 - px - q(-mx) = 0 \)

\( x^2 + m^2x^2 - px + qmx = 0 \)

\( (1 + m^2)x^2 + (qm - p)x = 0 \)

\( x[(1 + m^2)x + (qm - p)] = 0 \)

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই \( x \) এর একটি মাত্র মান থাকবে। সুতরাং,

\( (1 + m^2)x + (qm - p) = 0 \)

\( x = \frac{p - qm}{1 + m^2} \)

স্পর্শ করার শর্তানুসারে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।

বৃত্তের কেন্দ্র \( (\frac{p}{2}, \frac{q}{2}) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \frac{1}{2}\sqrt{p^2 + q^2} \)।

কেন্দ্র \( (\frac{p}{2}, \frac{q}{2}) \) থেকে \( mx + y = 0 \) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব:

\( d = \frac{|m(\frac{p}{2}) + \frac{q}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)

\( d = \frac{|\frac{mp + q}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)

\( d = \frac{|mp + q|}{2\sqrt{m^2 + 1}} \)

স্পর্শ করার শর্তানুসারে, \( d = r \)

\( \frac{|mp + q|}{2\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{2}\sqrt{p^2 + q^2} \)

\( |mp + q| = \sqrt{(m^2 + 1)(p^2 + q^2)} \)

বর্গ করে পাই,

\( (mp + q)^2 = (m^2 + 1)(p^2 + q^2) \)

\( m^2p^2 + 2mpq + q^2 = m^2p^2 + m^2q^2 + p^2 + q^2 \)

\( 2mpq = m^2q^2 + p^2 \)

\( m^2q^2 - 2mpq + p^2 = 0 \)

\( (mq - p)^2 = 0 \)

\( mq - p = 0 \)

\( mq = p \)

\( m = \frac{p}{q} \)

অতএব, \( m = \frac{p}{q} \) হলে সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে। 🎉

```