\(x^2 + y^2 + 3x - 5y + 2 = 0\) বৃত্তের উপরস্থ \((1, 2)\) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: \[ x^2 + y^2 + 3x - 5y + 2 = 0 \] আমরা এই সমীকরণ থেকে বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করব। ### ধাপ 1: বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ বৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \] এখানে, \[ D = 3, \quad E = -5, \quad F = 2 \] ### ধাপ 2: কেন্দ্র নির্ণয় কেন্দ্রের \( (h, k) \) হিসাব করা হয়: \[ h = -\frac{D}{2} = -\frac{3}{2} \] \[ k = -\frac{E}{2} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} \] অর্থাৎ, \[ \text{কেন্দ্র} \quad (h, k) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) \] ### ধাপ 3: ব্যাসার্ধ নির্ণয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) এর জন্য: \[ r^2 = h^2 + k^2 - F \] \[ r^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 2 \] \[ r^2 = \frac{9 + 25}{4} - 2 = \frac{34}{4} - 2 = \frac{34}{4} - \frac{8}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \] ### ধাপ 4: স্পর্শক রৈখিক সমীকরণ দেওয়া বিন্দু \( (1, 2) \) বৃত্তের উপর। স্পর্শক রেখার সমীকরণ: \[ \text{স্পর্শক লাইন} \quad y = m x + c \] স্পর্শক রেখা বৃত্তের উপর অঙ্কিত হলে, এই রেখার সাথে বৃত্তের সংস্পর্শের জন্য দুইটি শর্ত পূরণ হবে: 1. রেখার সমীকরণে বিন্দু \((1, 2)\) অন্তর্ভুক্ত। 2. রেখা ও বৃত্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব সমান ব্যাসার্ধের। ### ধাপ 5: রেখার সমীকরণে বিন্দু \((1, 2)\) বসানো \[ 2 = m \times 1 + c \Rightarrow c = 2 - m \] ### ধাপ 6: রেখা ও বৃত্তের মধ্যবর্তী দূরত্ব রেখার সমীকরণ: \[ y = m x + c \] অথবা, \[ m x - y + c = 0 \] যেখানে, \[ c = 2 - m \] অর্থাৎ, রেখার সাধারণ সমীকরণ: \[ m x - y + (2 - m) = 0 \] ### ধাপ 7: দূরত্ব সূত্র বৃত্তের কেন্দ্র \((h, k) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\) থেকে রেখার দূরত্ব: \[ d = \frac{|m h - k + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \] এবং এই দূরত্বটি ব্যাসার্ধের সমান হওয়া উচিত: \[ d = r = \sqrt{\frac{13}{2}} \] অতএব, \[ \frac{|m \times \left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{5}{2} + (2 - m)|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{13}{2}} \] ### ধাপ 8: সমীকরণ সমাধান নির্ণয় করি numerator: \[ |m \times \left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{5}{2} + 2 - m| = \left| -\frac{3m}{2} - \frac{5}{2} + 2 - m \right| \] সাধারণীকরণ করি: \[ = \left| -\frac{3m}{2} - m - \frac{5}{2} + 2 \right| = \left| -\frac{3m}{2} - \frac{2m}{2} - \frac{5}{2} + \frac{4}{2} \right| = \left| -\frac{3m + 2m}{2} - \frac{5 - 4}{2} \right| = \left| -\frac{5m}{2} - \frac{1}{2} \right| = \frac{| -5m - 1 |}{2} \] সুতরাং, \[ \frac{\frac{| -5m - 1 |}{2}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{13}{2}} \] উভয় পাশে 2 দ্বারা গুণ করি: \[ \frac{| -5m - 1 |}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 \sqrt{\frac{13}{2}} = \sqrt{26} \] এখন, \[ | -5m - 1 | = \sqrt{26} \times \sqrt{m^2 + 1} = \sqrt{26 (m^2 + 1)} \] স্কোয়ার করি উভয় পাশ: \[ (-5m - 1)^2 = 26 (m^2 + 1) \] \[ 25 m^2 + 10 m + 1 = 26 m^2 + 26 \] অর্থাৎ, \[ 25 m^2 + 10 m + 1 = 26 m^2 + 26 \] \[ 0 = 26 m^2 - 25 m^2 + 26 - 10 m - 1 \] \[ 0 = m^2 - 10 m + 25 \] প্রতীকরণ: \[ m^2 - 10 m + 25 = 0 \] ### ধাপ 9: সমাধান দেয়া হয় \[ m = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 1 \times 25}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2} = \frac{10 \pm 0}{2} = 5 \] অতএব, একমাত্র সমাধান: \[ m = 5 \] ### ধাপ 10: রেখার সমীকরণ \[ c = 2 - m = 2 - 5 = -3 \] অতএব, রেখার সমীকরণ: \[ y = 5x - 3 \] অথবা, \[ 5x - y - 3 = 0 \] ### **চূড়ান্ত উত্তর:** \[ \boxed{ 5x - y - 3 = 0 } \]