Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত বিকল্প: \( x = 4 - y^2 \) এবং ক্ষেত্রটি \( y \)-অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ। অর্থাৎ, ক্ষেত্রটি হলো \( x \leq 0 \) এবং \( y \geq 0 \) (উপরে ধরা হয়েছে যে ক্ষেত্রটি অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ, সাধারণত এর মানে হলো প্রথম কোঅর্ডিনেট কোটার বা উভয় অক্ষের মধ্যে সীমাবদ্ধ)। তবে, এখানে স্পষ্টভাবে বলা হয়নি, তাই আমরা ধরে নেবো যে ক্ষেত্রটি হলো:
\[
x \leq 4 - y^2,\quad y \geq 0
\]
ইতিমধ্যে, \( x = 4 - y^2 \) এই রেখাটি \( y \)-অক্ষের উপর \( y \geq 0 \) পর্যন্ত সীমাবদ্ধ।
আমাদের লক্ষ্য হলো ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা, যা হবে:
\[
A = \iint_{R} dx\,dy
\]
এখানে, \( R \) হলো সেই ক্ষেত্র যেখানে:
\[
0 \leq y \leq 2,\quad 0 \leq x \leq 4 - y^2
\]
(কারণ, \( x \geq 0 \) এর জন্য, \( 4 - y^2 \geq 0 \Rightarrow y^2 \leq 4 \Rightো, y \leq 2 \))
### ক্ষেত্রের সীমান্ত:
- \( y \) এর জন্য: \( 0 \leq y \leq 2 \)
- \( x \) এর জন্য: \( 0 \leq x \leq 4 - y^2 \)
অতএব, ক্ষেত্রফল হবে:
\[
A = \int_{y=0}^{2} \left( \int_{x=0}^{4 - y^2} dx \right) dy
\]
### সমাধান:
প্রথমে অভ্যন্তরীণ ইন্টিগ্রাল:
\[
\int_{0}^{4 - y^2} dx = (4 - y^2) - 0 = 4 - y^2
\]
অতএব,
\[
A = \int_{0}^{2} (4 - y^2) dy
\]
এখন,
\[
A = \int_{0}^{2} 4\,dy - \int_{0}^{2} y^2\,dy
\]
প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:
\[
\int_{0}^{2} 4\,dy = 4y \big|_{0}^{2} = 4 \times 2 - 0 = 8
\]
\[
\int_{0}^{2} y^2\,dy = \frac{y^3}{3} \big|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3}
\]
অতএব,
\[
A = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}
\]
যদিও, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত "32/3" হয়তো কোনো ভুল বা অন্য ক্ষেত্রের জন্য হতে পারে। তবে, এখানে সঠিক ক্ষেত্রফল হল:
\[
\boxed{\frac{16}{3}}
\]
### তবে, যদি প্রশ্নে উল্লেখিত ক্ষেত্রটি অন্যভাবে বোঝানো হয়, তাহলে উত্তরের মান পরিবর্তিত হতে পারে। কিন্তু, এই সমাধানটি সাধারণভাবে স্পষ্ট এবং সঠিক।
