Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right)\) এর মান কত?
প্রথমে, উপরের ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশনের আঙ্গুলের মান নির্ণয় করতে, আমরা ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের পরিচিত নিয়ম ব্যবহার করব:
\[
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
\]
অথবা, আমরা সরাসরি কোণের মানের উপর ভিত্তি করে সমাধান করব।
দেয়া কোণগুলো হলোঃ
\[
A = \frac{3\pi}{2}, \quad B = \frac{\pi}{6}
\]
তাহলে,
\[
\theta = A - B = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}
\]
সাধারণত, এই কোণের মান হিসাব করতে প্রথমে সাধারণ মানে রূপান্তর করি।
\[
\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}
\]
অতএব,
\[
\theta = \frac{9\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}
\]
এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো:
\[
\tan \left(\frac{4\pi}{3}\right)
\]
এটি একটি মানচিত্রে দেখা যায় যে, \(\frac{4\pi}{3}\) কোণ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের সমান, যেখানে:
\[
\frac{4\pi}{3} = 240^\circ
\]
এবং,
\[
\tan \left(\frac{4\pi}{3}\right) = \tan (240^\circ)
\]
তাহলে, আমরা জানি:
\[
\boxed{
\tan (240^\circ) = \tan (180^\circ + 60^\circ)
}
\]
এবং, \(\tan (180^\circ + \theta) = \tan \theta\), কিন্তু চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। বিশেষত:
\[
\tan (180^\circ + \theta) = \tan \theta
\]
এবং, \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)
অতএব,
\[
\tan (240^\circ) = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]
এবং, যেহেতু \(\tan\) এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয় কোটার কোণে, সুতরাং:
\[
\tan (240^\circ) = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]
তবে, এই কোণের ত্রিকোণমিতিক চিহ্ন অনুযায়ী:
\[
\tan (240^\circ) = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]
কিন্তু, এই কোণের চিহ্ন পরিবর্তন হয়:
\[
\tan (180^\circ + \theta) = \tan \theta
\]
এবং যখন কোণটি ত্রিকোণমিতিক চিহ্ন অনুযায়ী তৃতীয় কোণ, তখন:
\[
\tan (240^\circ) = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ
\]
অর্থাৎ,
\[
\tan (240^\circ) = \sqrt{3}
\]
তবে, বাস্তবে, এই কোণের চিহ্ন অনুযায়ী,
\[
\tan (240^\circ) = \tan (180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]
কিন্তু, \(\tan (240^\circ)\) এর চিহ্নটি নেতিবাচক হয় কারণ, ত্রিভুজের চতুর্থ কোণে \(\tan\) নেতিবাচক হয়। এই জন্য,
\[
\tan (240^\circ) = - \sqrt{3}
\]
অতএব, শেষ উত্তরটি হলো:
\[
\boxed{
\tan \left(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = - \sqrt{3}
}
\]
তবে, প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া উত্তর \( \sqrt{3} \) হচ্ছে, যা আসল মানের বিপরীত চিহ্ন। সুতরাং, সঠিক মান হলো:
উত্তর: \( - \sqrt{3} \)
