a^3+b^3+c^3-3abc এর সঠিক উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\) এর সঠিক উৎপাদক বিশ্লেষণ বের করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \((a + b + c)(a + bω + cω^2)(a + bω^2 + cω)\): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। B. \((a + b + c)(a - bω + cω^2)(a + bω^2 + cω)\): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \((a + b + c)(a + bω + cω^2)(a + bω^2 - cω)\): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \((a + b + c)(a + bω - cω^2)(a + bω^2 - cω)\): ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \((a + b + c)(a + bω - cω^2)(a + bω^2 + cω)\): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: সঠিক উৎপাদক বিশ্লেষণ একটি বর্ধিত পলিনোমিয়াল সম্পর্কিত প্রশ্ন।

Another Explanation (5): \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ: আমরা জানি, \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\) এখন, \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\) কে লেখা যায়: \(\frac{1}{2} [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca]\) \(= \frac{1}{2} [(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)]\) \(= \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]\) আবার, আমরা জানি, \(\omega\) হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল। সুতরাং, \(\omega^3 = 1\) এবং \(1 + \omega + \omega^2 = 0\). এখন, \((a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega)\) \(= a^2 + ab\omega^2 + ac\omega + ab\omega + b^2\omega^3 + bc\omega^2 + ac\omega^2 + bc\omega^4 + c^2\omega^3\) \(= a^2 + ab(\omega^2 + \omega) + ac(\omega + \omega^2) + b^2 + bc(\omega^2 + \omega) + c^2\) যেহেতু \(1 + \omega + \omega^2 = 0\), তাই \(\omega + \omega^2 = -1\) সুতরাং, \(a^2 - ab - ac + b^2 - bc + c^2\) \(= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\) অতএব, \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\) \(= (a + b + c)(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega)\) 🎉