ɑ - β = 8 এবং  ɑ^3 - β^3 = 152     হলে,  ɑ, β মূল বশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ - 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \alpha - \beta = 8 \) এবং \( \alpha^3 - \beta^3 = 152 \) হলে, \( \alpha, \beta \) মূল বশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় করো। সমাধান: ধরি, \( \alpha \) ও \( \beta \) মূল বশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের মূল। তাহলে, \[ \text{Sum, } S = \alpha + \beta \] \[ \text{Difference, } D = \alpha - \beta = 8 \] এবং, \[ \alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2) \] প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, \[ \alpha^3 - \beta^3 = 152 \] অর্থাৎ, \[ 152 = 8 (\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2) \] অতএব, \[ \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = \frac{152}{8} = 19 \] এখন, \[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = S^2 - 2 P \] এবং, \[ \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha \beta = (S^2 - 2 P) + P = S^2 - P \] তাহলে, \[ S^2 - P = 19 \] এবং, \[ \alpha - \beta = D = 8 \] সুতরাং, \[ \alpha - \beta = 8 \] \[ \Rightarrow (\alpha - \beta)^2 = 64 \] \[ \Rightarrow \alpha^2 - 2 \alpha \beta + \beta^2 = 64 \] \[ \Rightarrow (\alpha^2 + \beta^2) - 2 P = 64 \] অতএব, \[ S^2 - 2 P - 2 P = 64 \] \[ \Rightarrow S^2 - 4 P = 64 \] আমরা আগে জানি, \[ S^2 - P = 19 \] অর্থাৎ, \[ P = S^2 - 19 \] এখন, \[ S^2 - 4 P = 64 \] প্রতিস্থাপন করি, \[ S^2 - 4 (S^2 - 19) = 64 \] \[ S^2 - 4 S^2 + 76 = 64 \] \[ -3 S^2 + 76 = 64 \] \[ -3 S^2 = -12 \] \[ S^2 = 4 \] অর্থাৎ, \[ S = \pm 2 \] তাহলে, \( P \) এর মান: \[ P = S^2 - 19 = 4 - 19 = -15 \] অতএব, মূল দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হচ্ছে: \[ x^2 - (S) x + P = 0 \] \[ x^2 - (\pm 2) x - 15 = 0 \] উপযুক্ত সমীকরণ দুটি হলো: 1. যখন \( S = 2 \): \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \] 2. যখন \( S = -2 \): \[ x^2 + 2x - 15 = 0 \] অতএব, মূল দ্বিঘাত সমীকরণগুলো হলো: \[ \boxed{ x^2 - 2x - 15 = 0 } \] বা \[ \boxed{ x^2 + 2x - 15 = 0 } \]