∫cos^-1x dx  এর মান কোনটি?

ধরি, \( I = \int \cos^{-1} x \, dx \)

এখানে, \( \cos^{-1} x = u \) এবং \( dx = dv \) ধরে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস করব।

আমরা জানি, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)

সুতরাং, \( I = \cos^{-1} x \cdot x - \int x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)

\( = x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)

এখন, \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) এর মান বের করি।

ধরি, \( 1-x^2 = t \)

তাহলে, \( -2x \, dx = dt \)

সুতরাং, \( x \, dx = -\frac{1}{2} dt \)

তাহলে, \( \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt \)

\( = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt \)

\( = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + c_1 \)

\( = - \sqrt{t} + c_1 \)

\( = - \sqrt{1-x^2} + c_1 \)

সুতরাং, \( I = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + c \) , যেখানে \( c = c_1 \) একটি ধ্রুবক।

অতএব, \( \int \cos^{-1} x \, dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2} + c \) 🥳