f(x)=x², G(x)=2x

 int_0^1e^x{f(x)+G(x)}dx =কত?

প্রথমে দেওয়া হয়েছে:

\(f(x) = x^2\)

\(G(x) = 2x\)

আমাদের কাজ হলো:

\( \int_0^1 e^x [f(x) + G(x)] dx \)

প্রথমে, অভ্যন্তরীণ যোগফলটি নির্ণয় করি:

\(f(x) + G(x) = x^2 + 2x\)

তাহলে, ইনটিগ্রালটি হয়:

\[ \int_0^1 e^x (x^2 + 2x) dx \]

এখন, এই ইনটিগ্রাল দুটি আলাদাভাবে ভাঙি:

\[ \int_0^1 e^x x^2 dx + 2 \int_0^1 e^x x dx \]

প্রথম ইনটিগ্রাল: \(\int e^x x^2 dx\)

দ্বিতীয় ইনটিগ্রাল: \(\int e^x x dx\)

এখন, প্রতিটি ইন্টিগ্রাল জন্য ইনটিগ্রাল পার্টস প্রয়োগ করি।

প্রথম ইনটিগ্রাল: \(\int e^x x^2 dx\)

ধরি: \(u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx\)

\(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)

তাহলে,

\[ \int e^x x^2 dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx \]

আবার, \(\int 2x e^x dx\) এর জন্য ইনটিগ্রাল পার্টস প্রয়োগ করি:

ধরি: \(u = x \Rightarrow du = dx\)

\(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)

তাহলে,

\[ \int 2x e^x dx = 2 (x e^x - \int e^x dx) = 2 (x e^x - e^x) = 2 e^x (x - 1) \]

অতএব, প্রথম ইনটিগ্রালটি:

\[ x^2 e^x - 2 e^x (x - 1) = e^x (x^2 - 2x + 2) \]

দ্বিতীয় ইনটিগ্রাল: \(\int e^x x dx\)

ধরি: \(u = x \Rightarrow du = dx\)

\(dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x\)

তাহলে,

\[ \int e^x x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x = e^x (x - 1) \]

এখন, মূল ইনটিগ্রালের মান:

\[ \int_0^1 e^x (x^2 + 2x) dx = \left[ e^x (x^2 - 2x + 2) \right]_0^1 + 2 \left[ e^x (x - 1) \right]_0^1 \]

এখন, সীমান্তে মান নির্ণয় করি:

প্রথম অংশ:

\(x=1\): \(e^1 (1^2 - 2*1 + 2) = e (1 - 2 + 2) = e (1) = e\)

\(x=0\): \(e^0 (0 - 0 + 2) = 1 * 2 = 2\)

তাই, প্রথম অংশের মান = \(e - 2\)

দ্বিতীয় অংশ:

\(x=1\): \(e^1 (1 - 1) = e * 0 = 0\)

\(x=0\): \(e^0 (0 - 1) = 1 * (-1) = -1\)

অতএব, দ্বিতীয় অংশের মান = \(0 - (-1) = 1\)

অর্থাৎ, মূল মান:

\[ (e - 2) + 2 * 1 = e - 2 + 2 = e \]

সুতরাং, উত্তর:

\( \boxed{e} \)