inte^xcose^xdx এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int e^x \cos x \, dx \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে এই ইন্টিগ্রালটির মান নির্ণয় করতে পারি।

ধরি, \( I = \int e^x \cos x \, dx \)

প্রথম ফাংশন \( \cos x \) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \( e^x \) ধরে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস করি:

\( I = \cos x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\cos x) \int e^x \, dx \right) dx \)

\( I = \cos x \cdot e^x - \int (-\sin x \cdot e^x) \, dx \)

\( I = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx \)

এখন আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস করি, যেখানে প্রথম ফাংশন \( \sin x \) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \( e^x \):

\( \int e^x \sin x \, dx = \sin x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\sin x) \int e^x \, dx \right) dx \)

\( = \sin x \cdot e^x - \int (\cos x \cdot e^x) \, dx \)

\( = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx \)

\( = e^x \sin x - I \)

সুতরাং, \( I = e^x \cos x + e^x \sin x - I \)

\( 2I = e^x (\cos x + \sin x) \)

\( I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)

অতএব, \( \int e^x \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \), যেখানে C হল ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল \( \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C \) ।