int_1^2x^2e^(x^3)dx এর মান কত?

ধাপ ১: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে ইন্টিগ্রেশন করতে হবে।

ধরি, \(u = x^3\)

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 3x^2\)

সুতরাং, \(du = 3x^2 dx\)

বা, \(x^2 dx = \frac{1}{3} du\)

ধাপ ২: লিমিট পরিবর্তন করি।

যখন \(x = 1\), তখন \(u = 1^3 = 1\)

যখন \(x = 2\), তখন \(u = 2^3 = 8\)

ধাপ ৩: এখন ইন্টিগ্রালটিকে নতুন চলক \(u\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

\(\int_1^2 x^2 e^{x^3} dx = \int_1^8 e^u \frac{1}{3} du\)

\(= \frac{1}{3} \int_1^8 e^u du\)

ধাপ ৪: ইন্টিগ্রেশন করি।

\(\frac{1}{3} \int_1^8 e^u du = \frac{1}{3} [e^u]_1^8\)

\(= \frac{1}{3} (e^8 - e^1)\)

\(= \frac{1}{3} (e^8 - e)\)

সুতরাং, \(\int_1^2 x^2 e^{x^3} dx = \frac{1}{3} (e^8 - e)\)

অতএব, নির্ণেয় মান \(\frac{e^8-e}{3}\)। 🎉