intF(x)dx=e^x/(x+1)+c

প্রশ্ন: \(\int F(x) \, dx = \frac{e^x}{x+1} + c\)

আমাদের \(F(x)\) নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু \(\int F(x) \, dx = \frac{e^x}{x+1} + c\), তাই আমরা উভয় পক্ষে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে \(F(x)\) পাবো।

সুতরাং, \(F(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{x+1} \right)\)

এখানে, আমরা ভাগফলের নিয়ম ব্যবহার করব: \(\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

ধরি, \(u = e^x\) এবং \(v = x+1\)। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = e^x\) এবং \(\frac{dv}{dx} = 1\)

অতএব, \(F(x) = \frac{(x+1)e^x - e^x(1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x + e^x - e^x}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}\)

সুতরাং, \(F(x) = \frac{xe^x}{(x+1)^2}\) 🎉

উত্তর: \(\frac{xe^x}{(x+1)^2}\) ✅