f(x)=ln x +1/x  হলে,                

 inte^xf(x)dx এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ f(x) = \ln x + \frac{1}{x} \] আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ \int e^{x} f(x) \, dx \] প্রথমে, এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে পারি: \[ \int e^{x} \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) dx \] এই ইন্টিগ্রালটি দুটি আলাদা অংশে ভাগ করা যায়: \[ \int e^{x} \ln x \, dx + \int e^{x} \frac{1}{x} \, dx \] তবে, এই দুটি ইন্টিগ্রাল আলাদা আলাদা সমাধান কষ্টকর। কিন্তু, লক্ষ্য করা যায় যে, \(f(x) = \ln x + \frac{1}{x}\) এর সাথে সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিচিতি রয়েছে: \[ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \] এবং, \[ \frac{d}{dx} (x \ln x - x) = \ln x + 1 \] কিন্তু, আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \(e^x f(x)\) এর ইন্টিগ্রাল। এখানে, আমরা একটি কৌশল ব্যবহার করব: **সূত্র:** \[ \frac{d}{dx} \left( e^x \ln x \right) = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} \] এটি থেকে দেখা যায়: \[ \frac{d}{dx} \left( e^x \ln x \right) = e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) = e^x f(x) \] অর্থাৎ, \[ e^x f(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \ln x \right) \] অতএব, \[ \int e^x f(x) \, dx = e^x \ln x + C \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \boxed{ \int e^x f(x) \, dx = e^x \ln x + C } \]