int_1^3 1/xcos(lnx) 

প্রশ্ন: \( \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cos(\ln x) \, dx \)

সমাধান:

ধরি, \( u = \ln x \). তাহলে, \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \), সুতরাং \( du = \frac{1}{x} dx \).

এখন, \( x = 1 \) হলে, \( u = \ln 1 = 0 \) এবং \( x = 3 \) হলে, \( u = \ln 3 \).

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{0}^{\ln 3} \cos(u) \, du \)

আমরা জানি, \( \int \cos(u) \, du = \sin(u) + C \).

সুতরাং, \( \int_{0}^{\ln 3} \cos(u) \, du = \left[ \sin(u) \right]_{0}^{\ln 3} \)

\( = \sin(\ln 3) - \sin(0) \)

\( = \sin(\ln 3) - 0 \)

\( = \sin(\ln 3) \)

সুতরাং, \( \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cos(\ln x) \, dx = \sin(\ln 3) \). 🎉