int_0^(π/2)(1+cosx)^2sinxdxএর মান কত?

প্রশ্ন: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^2 \sin x \, dx\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \(u = 1 + \cos x\)
তাহলে, \(\frac{du}{dx} = -\sin x\)
সুতরাং, \(du = -\sin x \, dx\)
\(\sin x \, dx = -du\)

এখন, যখন \(x = 0\), তখন \(u = 1 + \cos 0 = 1 + 1 = 2\)
এবং যখন \(x = \frac{\pi}{2}\), তখন \(u = 1 + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1\)

অতএব, সমাকলনটি হবে:

\(\int_2^1 u^2 (-du) = -\int_2^1 u^2 \, du = \int_1^2 u^2 \, du\)

এখন, \(\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C\)

সুতরাং, \(\int_1^2 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\) 🎉

অতএব, \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos x)^2 \sin x \, dx = \frac{7}{3}\) 🥳