int_1^2logxdx এর মান - 

প্রশ্ন: \(\int_1^2 \log x \, dx\) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by Parts) ব্যবহার করব। 🤓

ধরি, \(u = \log x\) এবং \(dv = dx\)

তাহলে, \(du = \frac{1}{x} dx\) এবং \(v = x\)

আমরা জানি, \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

সুতরাং, \(\int_1^2 \log x \, dx = \left[ x \log x \right]_1^2 - \int_1^2 x \cdot \frac{1}{x} \, dx\)
\(= \left[ x \log x \right]_1^2 - \int_1^2 1 \, dx\)
\(= \left[ x \log x \right]_1^2 - \left[ x \right]_1^2\)
\(= (2 \log 2 - 1 \log 1) - (2 - 1)\)
\(= 2 \log 2 - 0 - 1\)
\(= 2 \log 2 - 1\)

অতএব, \(\int_1^2 \log x \, dx = 2 \log 2 - 1\)। 🎉

উত্তর: \(2 \log 2 - 1\) ✅