intxe^-x dx = কত?

আমরা \(\int xe^{-x} dx\) এর মান নির্ণয় করবো। এখানে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) সূত্রটি ব্যবহার করা হবে।

সূত্র: \(\int u v dx = u \int v dx - \int ( \frac{du}{dx} \int v dx) dx\)

এখানে, \(u = x\) এবং \(v = e^{-x}\) ধরা যাক।

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 1\) এবং \(\int v dx = \int e^{-x} dx = -e^{-x}\)

এখন, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস সূত্র ব্যবহার করে:

\(\int xe^{-x} dx = x \int e^{-x} dx - \int (1 \cdot \int e^{-x} dx) dx\)

\(= x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx\)

\(= -xe^{-x} + \int e^{-x} dx\)

\(= -xe^{-x} - e^{-x} + C\)

\(= -e^{-x}(x + 1) + C\)

সুতরাং, \(\int xe^{-x} dx = -e^{-x}(1+x) + C\), যেখানে \(C\) হলো ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক।

অতএব, উত্তর: \(-e^{-x}(1+x)\) 🎉