int_0^ ∞ e^(-2x) cos4xdx এর মান হলোঃ 

প্রশ্ন: \( \int_0^\infty e^{-2x} \cos(4x) \, dx \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

আমরা জানি, \( \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C \).

এখানে, \( a = -2 \) এবং \( b = 4 \). সুতরাং,

\( \int e^{-2x} \cos(4x) \, dx = \frac{e^{-2x}}{(-2)^2 + 4^2} (-2 \cos(4x) + 4 \sin(4x)) + C \)

\( = \frac{e^{-2x}}{4 + 16} (-2 \cos(4x) + 4 \sin(4x)) + C \)

\( = \frac{e^{-2x}}{20} (-2 \cos(4x) + 4 \sin(4x)) + C \)

\( = \frac{e^{-2x}}{10} (-\cos(4x) + 2 \sin(4x)) + C \)

এখন, \( \int_0^\infty e^{-2x} \cos(4x) \, dx = \left[ \frac{e^{-2x}}{10} (-\cos(4x) + 2 \sin(4x)) \right]_0^\infty \)

\( = \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{e^{-2x}}{10} (-\cos(4x) + 2 \sin(4x)) \right]_0^t \)

\( = \lim_{t \to \infty} \frac{e^{-2t}}{10} (-\cos(4t) + 2 \sin(4t)) - \frac{e^{-2(0)}}{10} (-\cos(4(0)) + 2 \sin(4(0))) \)

\( = 0 - \frac{1}{10} (-1 + 0) \), কারণ \( \lim_{t \to \infty} e^{-2t} = 0 \) এবং \( -\cos(4t) + 2 \sin(4t) \) একটি সীমিত মান।

\( = 0 - \frac{1}{10} (-1) \)

\( = \frac{1}{10} \). 🎉

সুতরাং, \( \int_0^\infty e^{-2x} \cos(4x) \, dx = \frac{1}{10} \). ✅