f(x) = ln2x

 intf(x)dx  এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্নটি হলো: প্রমাণ করুন যে, \(\int f(x) \, dx = \int \ln 2x \, dx\) এর মান হল \(x \ln 2x - x + c\)। সমাধান: প্রথমে, আমরা জানি: \[ f(x) = \ln 2x \] আমরা চাই: \[ \int \ln 2x \, dx \] ### ধাপ ১: লঘু করণ (Substitution) \[ u = 2x \implies du = 2 dx \implies dx = \frac{du}{2} \] অতএব, \[ \int \ln 2x \, dx = \int \ln u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \ln u \, du \] ### ধাপ ২: ইন্টিগ্রেশনের জন্য মান নির্ণয় আমরা জানি: \[ \int \ln u \, du = u \ln u - u + C \] অতএব, \[ \frac{1}{2} \int \ln u \, du = \frac{1}{2} \left( u \ln u - u \right) + C \] ### ধাপ ৩: মূল পরিবর্তন ফিরিয়ে আনা \(u = 2x\), সুতরাং, \[ \int \ln 2x \, dx = \frac{1}{2} \left( 2x \ln 2x - 2x \right) + C \] সরলীকরণ করলে, \[ = x \ln 2x - x + C \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \boxed{ \int \ln 2x \, dx = x \ln 2x - x + C } \]