int_0^∞xe^(-2x)=? 

Explanation:

Another Explanation (5): ∫₀^∞ xe^(-2x) dx = ? আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by Parts) ব্যবহার করব: ∫u dv = uv - ∫v du এখানে, u = x এবং dv = e^(-2x) dx তাহলে, du = dx এবং v = ∫e^(-2x) dx = -1/2 e^(-2x) এখন, ∫₀^∞ xe^(-2x) dx = [x * (-1/2)e^(-2x)]₀^∞ - ∫₀^∞ (-1/2)e^(-2x) dx = [-x/2 * e^(-2x)]₀^∞ + 1/2 ∫₀^∞ e^(-2x) dx প্রথম অংশটির মান বের করি: lim_x→∞ (-x/2 * e^(-2x)) - (0) = lim_x→∞ (-x / (2e^(2x))) এখানে, x→∞ হলে, এটি ∞/∞ আকারের হয়। সুতরাং, আমরা L'Hôpital's Rule ব্যবহার করতে পারি: lim_x→∞ (-1 / (4e^(2x))) = 0 সুতরাং, প্রথম অংশের মান 0। দ্বিতীয় অংশটির মান বের করি: 1/2 ∫₀^∞ e^(-2x) dx = 1/2 * [-1/2 e^(-2x)]₀^∞ = -1/4 [e^(-2x)]₀^∞ = -1/4 [lim_x→∞ e^(-2x) - e⁰] = -1/4 [0 - 1] = 1/4 অতএব, ∫₀^∞ xe^(-2x) dx = 0 + 1/4 = 1/4 🎉 সুতরাং, উত্তর: 1/4 ✅