int_0^1 2x^3e^(-x^2)dx এর মান নির্ণয় কর।

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int_0^1 2x^3 e^{-x^2} dx\)

উত্তর: \(\boxed{-\frac{2}{e} + 1}\)

সমাধান:

দিয়ে ধরা যাক, \(I = \int_0^1 2x^3 e^{-x^2} dx\)।

অতএব, আমাদের মূল ইন্টিগ্রালটি হল:

\[ I = \int_0^1 2x^3 e^{-x^2} dx \]

ধাপ 1: সাবস্টিটিউশন করুন

চলুন, \(t = x^2\)। তাহলে, \(dt = 2x dx\)।

এখন, ইন্টিগ্রালটি পুনঃলিখি: \[ x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot t \] এবং, \(dx = \frac{dt}{2x}\). তাহলে, \[ I = \int_{x=0}^{x=1} 2x^3 e^{-x^2} dx = \int_{t=0}^{t=1} 2x \cdot t \cdot e^{-t} \cdot \frac{dt}{2x} \] যেখানে, \(\text{চিহ্নিত } x \neq 0 \text{ থেকে } x=1\), তাই, \[ I = \int_0^1 t e^{-t} dt \]

ধাপ 2: ইন্টিগ্রাল সমাধান করুন

এটি একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল: \[ I = \int_0^1 t e^{-t} dt \] প্রথমে, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি: ধরা হয়, \(u = t \Rightarrow du = dt\) এবং \(dv = e^{-t} dt \Rightarrow v = -e^{-t}\) তাহলে, \[ I = uv \big|_0^1 - \int_0^1 v du = \left[ t \cdot (-e^{-t}) \right]_0^1 - \int_0^1 (-e^{-t}) dt \] \[ I = -t e^{-t} \big|_0^1 + \int_0^1 e^{-t} dt \] প্রথম টার্ম: \[ - (1) \cdot e^{-1} + (0) \cdot e^{0} = - \frac{1}{e} + 0 = - \frac{1}{e} \] দ্বিতীয় টার্ম: \[ \int_0^1 e^{-t} dt = - e^{-t} \big|_0^1 = - e^{-1} + e^{0} = - \frac{1}{e} + 1 \] অতএব, \[ I = - \frac{1}{e} + \left( - \frac{1}{e} + 1 \right) = - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = - \frac{2}{e} + 1 \]

অতএব,

উত্তর হল: \(\boxed{- \frac{2}{e} + 1}\)