inte^(2x)cosxdx এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\int e^{2x} \cos x \, dx\) এর মান কত?

উত্তর: \(\frac{e^{2x}}{5}(2\cos x + \sin x) + c\)

ব্যাখ্যা:

আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব।

ধরি, \(I = \int e^{2x} \cos x \, dx\)

প্রথম ফাংশন \(\cos x\) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \(e^{2x}\) ধরে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস প্রয়োগ করি:

\(I = \cos x \int e^{2x} dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\cos x) \int e^{2x} dx \right) dx\)

\(= \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx\)

\(= \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx\)

এখন, \(\int e^{2x} \sin x \, dx\) অংশটি আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস করে সমাধান করি।

ধরি, \(J = \int e^{2x} \sin x \, dx\)

এখানে প্রথম ফাংশন \(\sin x\) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \(e^{2x}\) ।

\(J = \sin x \int e^{2x} dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\sin x) \int e^{2x} dx \right) dx\)

\(= \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (\cos x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx\)

\(= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx\)

\(= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} I\)

সুতরাং, \(I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} J\)

\(I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} I \right)\)

\(I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} I\)

এখন, \(I\) এর জন্য সমাধান করি:

\(I + \frac{1}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \sin x\)

\(\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \sin x\)

\(I = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{4} e^{2x} \sin x \right)\)

\(I = \frac{2}{5} e^{2x} \cos x + \frac{1}{5} e^{2x} \sin x + c\)

\(I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \cos x + \sin x) + c\)

সুতরাং, \(\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} (2 \cos x + \sin x) + c\)

✅