inte^x(1/x+lnx)dx= কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) dx\) উত্তর: \(\boxed{e^{x} \cdot \frac{1}{x} + c}\) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনটি বিভক্ত করে লিখি: \[ \int e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) dx = \int e^{x} \cdot \frac{1}{x} dx + \int e^{x} \ln x dx \] তবে, এই সমীকরণটি সরাসরি সমাধান করা কঠিন। তবে, এককভাবে সমাধানটি বোঝার জন্য, প্রথমে \(I = \int e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) dx\) ধরি। আমরা লক্ষ্য করি যে: \[ \frac{d}{dx} \left( e^{x} \cdot \frac{1}{x} \right) = e^{x} \cdot \frac{1}{x} + e^{x} \cdot \left( - \frac{1}{x^{2}} \right) + e^{x} \cdot \frac{1}{x} = e^{x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \right) \] এখন, আমরা দেখছি যে: \[ \frac{d}{dx} \left( e^{x} \ln x \right) = e^{x} \ln x + e^{x} \cdot \frac{1}{x} \] অর্থাৎ, \[ \frac{d}{dx} \left( e^{x} \ln x \right) = e^{x} \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) \] এটি মূল সমীকরণের মূল অংশের সাথে মিলে যাচ্ছে। তাই, \[ I = \int e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) dx = e^{x} \ln x + C \] তবে, সামান্য ভুলে গেলে, মূল সূত্র অনুযায়ী: \[ \frac{d}{dx} \left( e^{x} \cdot \frac{1}{x} \right) = e^{x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \right) \] এবং \[ \frac{d}{dx} \left( e^{x} \ln x \right) = e^{x} \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) \] এখানে লক্ষ্য করুন যে, মূল ইন্টিগ্রালটি এর জন্য: \[ I = e^{x} \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) + C \] কিন্তু, আমাদের মূল প্রশ্নে \( \int e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) dx \) এর সমাধান হচ্ছে: \[ e^{x} \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) + C \] তাই, এই সমাধানটি মূলত: \[ \boxed{ \int e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) dx = e^{x} \left( \frac{1}{x} + \ln x \right) + C } \]