\(\int_1^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx\) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি নিম্নরূপ লিখব: \[ \int_1^{\sqrt{e}} x \ln x \, dx \] প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনের জন্য উপযুক্ত সাবস্টিটিউশন নেওয়া যাক: \[ u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \] এবং, \[ x = e^{u} \] তাহলে, \[ dx = e^{u} du \] এখন, ইন্টিগ্রাল রূপান্তর করব: \[ x \ln x \, dx = e^{u} \cdot u \cdot e^{u} du = u e^{2u} du \] বাউন্ডারিসমূহ পরিবর্তনঃ \[ x = 1 \Rightarrow u = \ln 1 = 0 \] \[ x = \sqrt{e} \Rightarrow u = \ln \sqrt{e} = \ln e^{1/2} = \frac{1}{2} \] অতএব, ইন্টিগ্রালটি এখন: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} u e^{2u} du \] এটি এখন ইন্টিগ্রেট করতে হবে। ইন্টিগ্রেটের জন্য ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব: \[ \int u e^{2u} du \] পার্টসের জন্য: \[ \begin{cases} f = u \Rightarrow df = du \\ dg = e^{2u} du \Rightarrow g = \frac{1}{2} e^{2u} \end{cases} \] তাহলে, \[ \int u e^{2u} du = u \cdot \frac{1}{2} e^{2u} - \int \frac{1}{2} e^{2u} du \] অতএব, \[ = \frac{u}{2} e^{2u} - \frac{1}{2} \int e^{2u} du \] অবিচ্ছিন্ন ইন্টিগ্রেশন: \[ \int e^{2u} du = \frac{1}{2} e^{2u} \] সুতরাং, \[ \int u e^{2u} du = \frac{u}{2} e^{2u} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} e^{2u} = \frac{u}{2} e^{2u} - \frac{1}{4} e^{2u} \] এখন, মূল ইন্টিগ্রালের মান নির্ণয় করব বাউন্ডারিসহ: \[ \left[ \frac{u}{2} e^{2u} - \frac{1}{4} e^{2u} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \] প্রথমে, যখন \(u = \frac{1}{2}\): \[ \frac{\frac{1}{2}}{2} e^{2 \times \frac{1}{2}} - \frac{1}{4} e^{2 \times \frac{1}{2}} = \frac{1/2}{2} e^{1} - \frac{1}{4} e^{1} = \frac{1}{4} e - \frac{1}{4} e = 0 \] যখন \(u=0\): \[ \frac{0}{2} e^{0} - \frac{1}{4} e^{0} = 0 - \frac{1}{4} \times 1 = -\frac{1}{4} \] অতএব, মূল মান: \[ 0 - \left( - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \] সুতরাং,

উত্তর:

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]