int_1^elnxdx=কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int_1^{e} \ln x \, dx = কত?

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করি:

\[ I = \int_1^{e} \ln x \, dx \] প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির জন্য ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব।

ধরি, \(u = \ln x\) এবং \(dv = dx\)। তাহলে,

\[ du = \frac{1}{x} dx, \quad v = x \] এখন, বাই পার্টসের সূত্র অনুযায়ী, \[ I = uv \bigg|_{1}^{e} - \int_{1}^{e} v \, du \] \[ I = x \ln x \bigg|_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx \] \[ I = e \ln e - 1 \cdot \ln 1 - \int_{1}^{e} 1 \, dx \] এখন, জানি যে \(\ln e = 1\) এবং \(\ln 1 = 0\), সুতরাং, \[ I = e \times 1 - 0 - (e - 1) \] \[ I = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1 \] অতএব, উত্তর হল: 1।