int_0^(pi/2)sin(2x).ln(tanx)dx এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln(\tan x) \, dx \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

ধরি, \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln(\tan x) \, dx \) 🧐

আমরা \( x = \frac{\pi}{2} - t \) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \( dx = -dt \) হবে। 🤓

যখন \( x = 0 \), তখন \( t = \frac{\pi}{2} \) এবং যখন \( x = \frac{\pi}{2} \), তখন \( t = 0 \) 🤩

সুতরাং, \( I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin(2(\frac{\pi}{2} - t)) \ln(\tan(\frac{\pi}{2} - t)) (-dt) \) \( = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\pi - 2t) \ln(\cot t) \, dt \) \( = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) \ln(\cot t) \, dt \) \( = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln(\cot x) \, dx \) (পুনরায় \( t \) কে \( x \) দ্বারা প্রতিস্থাপন করে) 😇 \( = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln\left(\frac{1}{\tan x}\right) \, dx \) \( = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) [-\ln(\tan x)] \, dx \) \( = - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln(\tan x) \, dx \) \( = -I \) 😎

সুতরাং, \( I = -I \) 😮

অতএব, \( 2I = 0 \) 🥳

সুতরাং, \( I = 0 \) 🤗

অতএব, \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) \ln(\tan x) \, dx = 0 \) 🥰