মান নির্ণয় কর ঃ   lim_(x to 0) (1-e^(2x))/log(1+x) ' [0 < x < 1}  

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{2x}}{\log(1+x)} \) এর মান নির্ণয় কর, যেখানে \( 0 < x < 1 \)।

সমাধান:

আমরা জানি, \( e^x \) এর Taylor Series expansion হলো:

\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \)

সুতরাং, \( e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots \)

তাহলে, \( 1 - e^{2x} = -2x - \frac{4x^2}{2!} - \frac{8x^3}{3!} - \dots \)

আবার, \( \log(1+x) \) এর Taylor Series expansion হলো:

\( \log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots \)

এখন,

\( \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{2x}}{\log(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x - \frac{4x^2}{2!} - \frac{8x^3}{3!} - \dots}{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots} \)

আমরা উভয় লব এবং হর থেকে \( x \) কমন নিয়ে পাই,

\( \lim_{x \to 0} \frac{x(-2 - \frac{4x}{2!} - \frac{8x^2}{3!} - \dots)}{x(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots)} \)

\( \lim_{x \to 0} \frac{-2 - \frac{4x}{2!} - \frac{8x^2}{3!} - \dots}{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots} \)

এখন \( x \to 0 \) বসালে পাই,

\( \frac{-2 - 0 - 0 - \dots}{1 - 0 + 0 - 0 + \dots} = \frac{-2}{1} = -2 \)

বিকল্প পদ্ধতি (L'Hôpital's rule ব্যবহার করে):

\( \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{2x}}{\log(1+x)} \) একটি \( \frac{0}{0} \) আকারের indeterminate form।

L'Hôpital's rule অনুসারে,

\( \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{2x}}{\log(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-e^{2x})}{\frac{d}{dx}\log(1+x)} \)

\( = \lim_{x \to 0} \frac{-2e^{2x}}{\frac{1}{1+x}} = \lim_{x \to 0} -2e^{2x}(1+x) \)

\( = -2e^{2(0)}(1+0) = -2(1)(1) = -2 \)

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{1-e^{2x}}{\log(1+x)} = -2 \) 🤔।