একটি ট্রেন আলোর দ্রুতির কতগুণ দ্রুতিতে চললে এর চলমান দৈর্ঘ্য নিশ্চল দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হবে?
একটি ট্রেনের চলমান দৈর্ঘ্য, \(L\), নিশ্চল দৈর্ঘ্য, \(L_0\)-এর অর্ধেক হবে, অর্থাৎ \(L = \frac{1}{2} L_0\)। আমরা জানি, দৈর্ঘ্য সংকোচন (length contraction) এর সূত্রানুসারে, \[L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\] যেখানে, \(L\) = চলমান দৈর্ঘ্য \(L_0\) = নিশ্চল দৈর্ঘ্য \(v\) = ট্রেনের দ্রুতি \(c\) = আলোর দ্রুতি
প্রশ্নানুসারে, \(L = \frac{1}{2} L_0\)। সুতরাং, \[\frac{1}{2} L_0 = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]
উভয় পক্ষকে \(L_0\) দিয়ে ভাগ করে পাই, \[\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\]
এখন, উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই, \[\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}\]
\(\frac{v^2}{c^2}\) কে বামপক্ষে নিয়ে এসে পাই, \[\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4}\] \[\frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}\]
অতএব, \[v^2 = \frac{3}{4} c^2\] \[v = \sqrt{\frac{3}{4} c^2}\] \[v = \frac{\sqrt{3}}{2} c\]
সুতরাং, ট্রেনের দ্রুতি আলোর দ্রুতির \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) গুণ হতে হবে। 🥳🎉
```