y =mx+c সরলরেখাটি y² =4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে শর্ত হবে -

দেওয়া আছে, সরলরেখাটির সমীকরণ y = mx + c এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ y² = 4ax। সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয় করতে হবে।

সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে, সরলরেখার সমীকরণ থেকে y এর মান পরাবৃত্তের সমীকরণে বসালে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়া যায়। যেহেতু সরলরেখাটি স্পর্শক, তাই দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি মাত্র সমাধান থাকবে, অর্থাৎ সমীকরণটির পৃথায়ক (discriminant) শূন্য হবে।

y = mx + c কে y² = 4ax এ বসিয়ে পাই,

(mx + c)² = 4ax

m²x² + 2mcx + c² = 4ax

m²x² + (2mc - 4a)x + c² = 0

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই এই সমীকরণের পৃথায়ক শূন্য হবে।

পৃথায়ক, D = b² - 4ac = 0

এখানে, a = m², b = 2mc - 4a, c = c²

সুতরাং, (2mc - 4a)² - 4(m²)(c²) = 0

4m²c² - 16amc + 16a² - 4m²c² = 0

-16amc + 16a² = 0

16a(a - mc) = 0

যেহেতু a ≠ 0, তাই a - mc = 0

mc = a

অতএব, c = a/m 🥳

সুতরাং, y = mx + c সরলরেখাটি y² = 4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো c = a/m। ✨