y=x^(-1/x)  হলে, dy/dx = ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = x^{-\frac{1}{x}} \) হলে, \( \frac{dy}{dx} \) কত? উত্তর: \( \frac{dy}{dx} = x^{-2 - \frac{1}{x}}\left(\ln x - 1\right) \) সমাধান: প্রথমে, যেহেতু \( y \) একটি এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন, আমরা সহজ করার জন্য লঘুগুণ (natural logarithm) ব্যবহার করব। \[ \begin{aligned} y &= x^{-\frac{1}{x}} \\ &= e^{\ln\left(x^{-\frac{1}{x}}\right)} \\ &= e^{-\frac{1}{x} \ln x} \end{aligned} \] এখন, \( y \) এর ডেরিভেটিভ নিতে: \[ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{x} \ln x \right) \] \[ \Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \cdot \left( - \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{x} \right) \right) \] অতএব, আমাদের দরক???র: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{x} \right) \] এটি রীতি অনুযায়ী ডেরিভেটিভ: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{x} \right) = \frac{(1/x) \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = y \cdot \left( - \frac{1 - \ln x}{x^2} \right) = - y \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} \] এবং, \( y = x^{-\frac{1}{x}} \), অতএব: \[ \frac{dy}{dx} = - x^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} \] অতএব, \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = x^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{\ln x - 1}{x^2} } \] এখানে, কারণ \( - (1 - \ln x) = \ln x - 1 \), তাই উপরের ফলাফলটি লেখা হলো: \[ \frac{dy}{dx} = x^{-\frac{1}{x}} \left( \frac{\ln x - 1}{x^2} \right) \] অথবা, \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = x^{-2 - \frac{1}{x}} (\ln x - 1) } \] এটাই চূড়ান্ত উত্তর।