একটি তেজস্ক্রিয় মৌলের তেজস্ক্রিয়তা পাঁচ দিনে 96.875% কমছে। মৌলটি অর্ধায়ু কত ঘন্টা?

Explanation: Hints: \(N = N_0 e^{-\lambda t}\) Solve: অবশিষ্ট অংশ = \(100 - 96.875 = 3.125\) \(N = N_0 e^{-\lambda t} \implies \ln \left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t \implies -\lambda t = \ln \left(\frac{3.125}{100}\right)\) \(\implies -\lambda \times 5 = -3.4657 \implies \lambda = \frac{3.4657}{5} \implies \lambda = 0.693\) ∴ \(T_{\frac{1}{2}} = \frac{0.693}{\lambda} = \frac{0.693}{0.693} = 1\) দিন = 24 ঘণ্টা Ans. (C) ব্যাখ্যা: কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের প্রাথমিক বা উপস্থিত অক্ষত পরমাণুগুলোর অর্ধেককে পরিণত হতে যে সময় লাগে তাকে অর্ধায়ু বা অর্ধপায়ু বলে। ∴ \(T_{\frac{1}{2}} = \frac{0.693}{\lambda}\)

Another Explanation (5): ```html

ধরি, তেজস্ক্রিয় মৌলের প্রাথমিক পরিমাণ \( N_0 \)।

5 দিন পর \( 96.875\% \) তেজস্ক্রিয়তা কমে গেলে, অবশিষ্ট তেজস্ক্রিয়তা \( 100\% - 96.875\% = 3.125\% \)।

সুতরাং, 5 দিন পর তেজস্ক্রিয় মৌলের পরিমাণ \( N = N_0 \times \frac{3.125}{100} = N_0 \times 0.03125 \)।

আমরা জানি, \( N = N_0 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{1/2}}} \), যেখানে \( t \) হল সময় এবং \( T_{1/2} \) হল অর্ধায়ু।

এখানে, \( t = 5 \) দিন এবং \( N = N_0 \times 0.03125 \)।

তাহলে, \( N_0 \times 0.03125 = N_0 \times (\frac{1}{2})^{\frac{5}{T_{1/2}}} \)।

বা, \( 0.03125 = (\frac{1}{2})^{\frac{5}{T_{1/2}}} \)।

আমরা জানি, \( 0.03125 = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5 \)।

সুতরাং, \( (\frac{1}{2})^5 = (\frac{1}{2})^{\frac{5}{T_{1/2}}} \)।

ঘাত তুলনা করে পাই, \( 5 = \frac{5}{T_{1/2}} \)।

অতএব, \( T_{1/2} = 1 \) দিন।

যেহেতু ১ দিন = ২৪ ঘন্টা, সুতরাং অর্ধায়ু ২৪ ঘন্টা। 🥳

```