20x²+36y²+40x-108y-79=0 সমীকরণটি কী নির্দ???শ করে?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ 20x^2 + 36y^2 + 40x - 108y - 79 = 0 \]

প্রথমে, সমীকরণকে সাধারণ রূপে নিয়ে আসি। প্রতিটি সদস্যকে ২০ দ্বারা ভাগ করি যাতে কোঅফিসিয়েন্টগুলি সহজ হয়:

\[ x^2 + \frac{36}{20} y^2 + 2x - \frac{108}{20} y - \frac{79}{20} = 0 \]

এখানে, \(\frac{36}{20} = \frac{9}{5}\), \(\frac{108}{20} = \frac{27}{5}\), এবং \(\frac{79}{20}\) অপরিবর্তিত থাকবে। ফলে, সমীকরণ হয়:

\[ x^2 + \frac{9}{5} y^2 + 2x - \frac{27}{5} y = \frac{79}{20} \]

এখন, \(x\) ও \(y\) এর জন্য সম্পূর্ণ বর্গের মাধ্যমে সমাধান করি। প্রথমে, \(x\) এর জন্য:

\[ x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 \]

এবং, \(y\) এর জন্য:

\[ \frac{9}{5} y^2 - \frac{27}{5} y = \frac{9}{5} \left( y^2 - 3 y \right) \]

এখানে, \( y^2 - 3 y \) সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[ y^2 - 3 y = (y - \frac{3}{2})^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \]

অতএব, মূল সমীকরণে পরিবর্তন আনলে:

\[ (x + 1)^2 - 1 + \frac{9}{5} \left( (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right) = \frac{79}{20} \]

বিভাগ করে বিস্তার করি:

\[ (x + 1)^2 - 1 + \frac{9}{5} (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{5} \times \frac{9}{4} = \frac{79}{20} \]

গণনা করি:

\[ (x + 1)^2 + \frac{9}{5} (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{79}{20} + 1 + \frac{81}{20} \]

একই মানে:

\[ (x + 1)^2 + \frac{9}{5} (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{79}{20} + \frac{20}{20} + \frac{81}{20} = \frac{180}{20} = 9 \]

এখন, সমীকরণটি হলো:

\[ (x + 1)^2 + \frac{9}{5} (y - \frac{3}{2})^2 = 9 \]

এটি একটি দ্বৈতবৃত্ত (অধিবৃত্ত) এর সমীকরণ, কারণ এটি দুইটি বর্গের যোগফল যা সমান একটি ধনাত্মক সংখ্যার সাথে।

উপসংহার:

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণটি নির্দেশ করে একটি অধিবৃত্ত।