A ও B ভেক্টর দ্বারা একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় নির্দিষ্ট হলে সামান্তরিকের। ক্ষেত্রফল কোনটি হবে?

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

যদি \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) ভেক্টরদ্বয় একটি সামান্তরিকের কর্ণ নির্দেশ করে, তবে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল হবে:

\( \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| \)

ব্যাখ্যা:

মনে করি, সামান্তরিকটির দুটি সন্নিহিত বাহু \( \vec{P} \) এবং \( \vec{Q} \)। তাহলে, কর্ণদ্বয় হবে:

\( \vec{A} = \vec{P} + \vec{Q} \)
\( \vec{B} = \vec{P} - \vec{Q} \)

এখন, \( \vec{A} \times \vec{B} \) নির্ণয় করি:

\( \vec{A} \times \vec{B} = (\vec{P} + \vec{Q}) \times (\vec{P} - \vec{Q}) \)
\( = \vec{P} \times \vec{P} - \vec{P} \times \vec{Q} + \vec{Q} \times \vec{P} - \vec{Q} \times \vec{Q} \)

যেহেতু \( \vec{P} \times \vec{P} = 0 \) এবং \( \vec{Q} \times \vec{Q} = 0 \), এবং \( \vec{Q} \times \vec{P} = -(\vec{P} \times \vec{Q}) \), তাই:

\( \vec{A} \times \vec{B} = - \vec{P} \times \vec{Q} - \vec{P} \times \vec{Q} \)
\( = -2 (\vec{P} \times \vec{Q}) \)
\( = 2 (\vec{Q} \times \vec{P}) \)

অতএব,

\( |\vec{A} \times \vec{B}| = 2 |\vec{P} \times \vec{Q}| \)

আমরা জানি, \( |\vec{P} \times \vec{Q}| \) হলো সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল, যার বাহু \( \vec{P} \) এবং \( \vec{Q} \)। সুতরাং, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area) হবে:

Area \( = |\vec{P} \times \vec{Q}| = \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| \)

সুতরাং, কর্ণদ্বয় \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \( \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| \)। 🥳