x\(^2\) + y\(^2\) = Log(xy) হলে \( \frac{dy}{dx} \) =?

Explanation: Solve: \(x^2 + y^2 = \log(xy) \implies x^2 + y^2 = \log x + \log y\) \[ \implies 2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \] \[ \implies \left(2y - \frac{1}{y}\right)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 2x \] \[ \implies \frac{(2y^2 - 1)}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x^2}{x} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y(1 - 2x^2)}{x(2y^2 - 1)} \] Ans. (A) ব্যাখ্যা: এক্ষেত্রে শুধু \(x^n\) এর Formula Apply করা হয়েছে। \(y^2\) এর অন্তর্গতকরণ \(2y\frac{dy}{dx}\) বুঝার সমস্যা হলে একটি Technique বুঝে নাও। \(y^n\) যদি \(x\) এর একটি ফাংশন হয় তাহলে \(\frac{d}{dx} y^n = ny^{n-1} \frac{dy}{dx}\), এখানে \(y^n\) এর ক্ষেত্রে \(x^n\) এর Formula প্রয়োগ করা হয়েছে কিন্তু \(x\) এর পরিবর্তে \(y\) থাকার কারণে তাকে (অর্থাৎ \(y\) কে) আবার অন্তর্গতকরণ করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

দেওয়া আছে, \( x^2 + y^2 = \log(xy) \)

উভয় পক্ষে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,

\( \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx} (\log(xy)) \)

\( \implies 2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy} \cdot \frac{d}{dx}(xy) \)

\( \implies 2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy} \cdot (x \frac{dy}{dx} + y) \)

\( \implies 2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \)

\( \implies 2y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 2x \)

\( \implies \frac{dy}{dx} (2y - \frac{1}{y}) = \frac{1}{x} - 2x \)

\( \implies \frac{dy}{dx} (\frac{2y^2 - 1}{y}) = \frac{1 - 2x^2}{x} \)

\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y(1 - 2x^2)}{x(2y^2 - 1)} \)

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y(1 - 2x^2)}{x(2y^2 - 1)} \)

```