If  A=[(0,1,2),(1,2,3),(3,1,1)]  and B = A^-1, then b₂₃ =? 

-1

দেওয়া আছে, \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B = A^{-1}\)। আমাদের \(b_{23}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। \(b_{23}\) হলো \(B\) ম্যাট্রিক্সের ২য় সারি এবং ৩য় কলামের উপাদান।

আমরা জানি, \(A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)\), যেখানে \(adj(A)\) হলো \(A\) ম্যাট্রিক্সের adjugate।

প্রথমে, \(|A|\) নির্ণয় করি: \(|A| = 0(2\cdot1 - 3\cdot1) - 1(1\cdot1 - 3\cdot3) + 2(1\cdot1 - 2\cdot3)\) \(|A| = 0 - 1(1 - 9) + 2(1 - 6)\) \(|A| = 0 - (-8) + 2(-5)\) \(|A| = 8 - 10 = -2\)

এখন, \(A\) ম্যাট্রিক্সের কোফ্যাক্টরগুলো নির্ণয় করি: \(C_{11} = (2\cdot1 - 3\cdot1) = -1\) \(C_{12} = -(1\cdot1 - 3\cdot3) = 8\) \(C_{13} = (1\cdot1 - 2\cdot3) = -5\) \(C_{21} = -(1\cdot1 - 2\cdot1) = 1\) \(C_{22} = (0\cdot1 - 2\cdot3) = -6\) \(C_{23} = -(0\cdot1 - 1\cdot3) = 3\) \(C_{31} = (1\cdot3 - 2\cdot2) = -1\) \(C_{32} = -(0\cdot3 - 1\cdot2) = 2\) \(C_{33} = (0\cdot2 - 1\cdot1) = -1\)

সুতরাং, কোফ্যাক্টর ম্যাট্রিক্স \(C = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\)

\(adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}\)

\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\)

অতএব, \(b_{23} = -1\) 🥳