কোন শর্তে \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরনের উভয়মূল যোগবোধক হবে?
প্রশ্ন: \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরণের উভয় মূল যোগবোধক হওয়ার শর্ত নির্ণয় করো।
শর্তাবলী:
- a<0 হতে হবে।
- c<0 হতে হবে।
ব্যাখ্যা:
ধরি, \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)। যেহেতু উভয় মূল যোগবোধক, তাই \(\alpha > 0\) এবং \(\beta > 0\)।
আমরা জানি, মূলদ্বয়ের যোগফল = \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\). এখানে \(b = 5\), সুতরাং \(\alpha + \beta = -\frac{5}{a}\).
যেহেতু \(\alpha > 0\) এবং \(\beta > 0\), তাই \(\alpha + \beta > 0\). অর্থাৎ, \(-\frac{5}{a} > 0\).
অতএব, \(a < 0\) 😮 (কারণ \(a\) ঋণাত্মক না হলে \(-\frac{5}{a}\) ধনাত্মক হতে পারে না)।
আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল = \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\). যেহেতু \(\alpha > 0\) এবং \(\beta > 0\), তাই \(\alpha\beta > 0\). অর্থাৎ, \(\frac{c}{a} > 0\).
যেহেতু \(a < 0\) এবং \(\frac{c}{a} > 0\), তাই \(c < 0\) 🧐 (কারণ \(a\) ঋণাত্মক হলে \(c\)-কেও ঋণাত্মক হতে হবে, তা না হলে \(\frac{c}{a}\) ধনাত্মক হবে না)।
সুতরাং, \(ax^{2}+5x+c=0\) সমীকরণের উভয় মূল যোগবোধক হওয়ার শর্ত হল: \(a < 0\) এবং \(c < 0\) 🥰।
```