\( 2\tan^{-1}\frac{1}{3} + \tan^{-1}\frac{1}{7} = ? \)

প্রথমে, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি বিবেচনা করব:

\[ A = 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{7} \]

আমরা জানি যে,

\[ 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \quad \text{যখন} \quad x^2 < 1 \]

এখানে, \( x = \frac{1}{3} \), যা সত্য কারণ \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} < 1 \). সুতরাং,

\[ 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} = \tan^{-1} \left( \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \right) \]

অর্থাৎ,

\[ 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/3}{8/9} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2/3 \times 9/8}{1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2 \times 9}{3 \times 8} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{18}{24} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \]

অতএব,

\[ A = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) \]

আমরা এখন দুটি আর্সট্যানজেন্ট যোগের সূত্র ব্যবহার করব:

\[ \tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a + b}{1 - a b} \right) \quad \text{যখন} \quad 1 - a b \neq 0 \]

এখানে, \( a = \frac{3}{4} \) এবং \( b = \frac{1}{7} \), তাই,

\[ A = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{1}{7}} \right) \]

নিম্নলিখিত গণনা করি:

\[ \text{উপর} = \frac{3}{4} + \frac{1}{7} = \frac{3 \times 7}{4 \times 7} + \frac{1 \times 4}{7 \times 4} = \frac{21}{28} + \frac{4}{28} = \frac{25}{28} \]

\[ \text{নিচে} = 1 - \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} = 1 - \frac{3}{4 \times 7} = 1 - \frac{3}{28} = \frac{28}{28} - \frac{3}{28} = \frac{25}{28} \]

অতএব,

\[ A = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} \right) = \tan^{-1} (1) \]

এবং,

\[ \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4} \]

অতএব,

\[ 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \frac{\pi}{4} \]