sinA=1/sqrt2,sinB=1/sqrt3 হলে tan (A + B) = কত?
উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতtan (A+B) ও tan (A-B) এর সূত্র (Topic Practice)
সঠিক উত্তরঃ
D.
(sqrt2+1)/(sqrt2-1)
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে \(\tan (A + B)\) কত?
সমাধান:
প্রথমে, \(\sin A\) এর মান দেওয়া হয়েছে:
\[
\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\Rightarrow \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
এবং, \(\sin B\):
\[
\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
### Step 1: \(\cos A\) এবং \(\cos B\) নির্ণয় করুন
\[
\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\]
### Step 2: \(\tan A\) এবং \(\tan B\) নির্ণয় করুন
\[
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1
\]
\[
\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3 \sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
### Step 3: \(\tan (A + B)\) এর জন্য সূত্র ব্যবহার করুন:
\[
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
\]
অর্থাৎ,
\[
\tan (A + B) = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}
\]
### Step 4: রৈখিকীকরণ (rationalize) করুন:
\[
\tan (A + B) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2)^2 - (\sqrt{2})^2}
\]
নির্ণয়:
\[
\text{Numerator: } (2 + \sqrt{2})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + 4 \sqrt{2} + 2 = 6 + 4 \sqrt{2}
\]
\[
\text{Denominator: } 4 - 2 = 2
\]
অতএব,
\[
\tan (A + B) = \frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2} = 3 + 2 \sqrt{2}
\]
### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\tan (A + B) = 3 + 2 \sqrt{2}
\]
অথবা, রৈখিকীকরণে দেখানোভাবে লিখলে:
\[
\boxed{\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}}
\]
এটি মূল প্রশ্নের উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়েছে।