p এর মান কত হলে \( px^2+3x+4=0 \) সমীকরণের মুলদ্বয় বাস্???ব ও অসমান হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, সমীকরণ হলো: \[ px^2 + 3x + 4 = 0 \] আমাদের লক্ষ্য হল, এমন মান \( p \) এর জন্য এই সমীকরণের মূল দুটি বাস্তব ও অসমান (অর্থাৎ আলাদা) হবে।

ধাপ 1: মূলের বাস্তবতা নির্ণয়

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বাস্তব হলে, এর ডিসক্রিমিনেন্ট (D) ধনাত্মক হতে হবে। ডিসক্রিমিনেন্ট: \[ D = b^2 - 4ac \] এখানে, \( a = p \), \( b = 3 \), \( c = 4 \) অতএব, \[ D = (3)^2 - 4 \times p \times 4 = 9 - 16p \] মূল বাস্তব হলে: \[ D > 0 \] অর্থাৎ: \[ 9 - 16p > 0 \] \[ -16p > -9 \] \[ p < \frac{9}{16} \]

ধাপ 2: মূল দুটি আলাদা (অসমান) হবে

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আলাদা হলে, ডিসক্রিমিনেন্ট ধনাত্মক থাকতে হবে: \[ D > 0 \] অর্থাৎ: \[ 9 - 16p > 0 \] যা ইতিমধ্যে পাওয়া গেছে: \[ p < \frac{9}{16} \] সুতরাং, মূল দুটি আলাদা ও বাস্তব হবে যদি এবং কেবল যদি: \[ p < \frac{9}{16} \]

উপসংহার:

\[ \boxed{ p < \frac{9}{16} } \] **অর্থাৎ, \( p \) এর মান যদি \(\frac{9}{16}\) এর চেয়ে ছোট হয়, তবে সমীকরণের দুটি মূল বাস্তব ও আলাদা হবে।**