Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, সমীকরণ হলো:
\[
px^2 + 3x + 4 = 0
\]
আমাদের লক্ষ্য হল, এমন মান \( p \) এর জন্য এই সমীকরণের মূল দুটি বাস্তব ও অসমান (অর্থাৎ আলাদা) হবে।
ধাপ 1: মূলের বাস্তবতা নির্ণয়
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বাস্তব হলে, এর ডিসক্রিমিনেন্ট (D) ধনাত্মক হতে হবে।
ডিসক্রিমিনেন্ট:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
এখানে, \( a = p \), \( b = 3 \), \( c = 4 \)
অতএব,
\[
D = (3)^2 - 4 \times p \times 4 = 9 - 16p
\]
মূল বাস্তব হলে:
\[
D > 0
\]
অর্থাৎ:
\[
9 - 16p > 0
\]
\[
-16p > -9
\]
\[
p < \frac{9}{16}
\]
ধাপ 2: মূল দুটি আলাদা (অসমান) হবে
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল আলাদা হলে, ডিসক্রিমিনেন্ট ধনাত্মক থাকতে হবে:
\[
D > 0
\]
অর্থাৎ:
\[
9 - 16p > 0
\]
যা ইতিমধ্যে পাওয়া গেছে:
\[
p < \frac{9}{16}
\]
সুতরাং, মূল দুটি আলাদা ও বাস্তব হবে যদি এবং কেবল যদি:
\[
p < \frac{9}{16}
\]
উপসংহার:
\[
\boxed{
p < \frac{9}{16}
}
\]
**অর্থাৎ, \( p \) এর মান যদি \(\frac{9}{16}\) এর চেয়ে ছোট হয়, তবে সমীকরণের দুটি মূল বাস্তব ও আলাদা হবে।**
