k এর মান কত হলে, x²+kx+k² একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

আমাদের দেওয়া মূল এক্সপ্রেশন: \(x^2 + kx + k^2\)

আমরা জানতে চাই, কখন এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। অর্থাৎ, এটি একটি স্কোয়ার (অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার বর্গ) হবে।

একটি দ্বৈতসংখ্যার জন্য, ধরা যাক, এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় যখন:

\(x^2 + kx + k^2 = m^2\)

এখন, মূল এক্সপ্রেশনটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবার জন্য, এর জন্য সীমাবদ্ধতা নির্ণয় করতে পারি। এটি একটি দ্বৈতসংখ্যার জন্য, আমরা দেখতে পারি যে এটি একটি দ্বৈতসংখ্যা যা রূপে লেখা যেতে পারে:

\(x^2 + kx + k^2 = (x + \frac{k}{2})^2 + \left(k^2 - \frac{k^2}{4}\right)\)

যা সহজ করে লিখলে:

\(x^2 + kx + k^2 = \left(x + \frac{k}{2}\right)^2 + \frac{3k^2}{4}\)

এখন, যদি এই এক্সপ্রেশনটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে, অবশ্যই, \(\frac{3k^2}{4}\) অবশ্যই একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। কারণ, \(\left(x + \frac{k}{2}\right)^2\) অবশ্যই একটি পূর্ণসংখ্যা, যদি \(x\) ও \(k\) পূর্ণসংখ্যা হয়।

অতএব, প্রয়োজনীয় শর্ত হলো:

\(\frac{3k^2}{4}\) একটি পূর্ণসংখ্যা।

অর্থাৎ, 4 দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে:

\(3k^2 \equiv 0 \pmod{4}\)

এখন, 3 ও 4 এর মধ্যে, 3 একটি অপ্রতিফলন সংখ্যা। তাই, \(3k^2 \equiv 0 \pmod{4}\) হতে হলে, অবশ্যই, \(k^2 \equiv 0 \pmod{4}\)।

এবং, \(k^2 \equiv 0 \pmod{4}\) এর মানে হলো, \(k\) এর মান 2 এর গুণফল, অর্থাৎঃ

\(k \equiv 0 \pmod{2}\)

অর্থাৎ, \(k\) অবশ্যই জোড় সংখ্যা।

অতএব, যখন \(k\) জোড় সংখ্যা, তখন \(x^2 + kx + k^2\) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

উদাহরণস্বরূপ, যখন \(k=0\), তখন এক্সপ্রেশনটি হয়:

\(x^2 + 0 \cdot x + 0^2 = x^2\)

সুতরাং, মূল প্রশ্নের উত্তর হল: \(k=0\), অর্থাৎ, কেবলমাত্র \(k=0\) এর জন্য এক্সপ্রেশনটি একেবারে একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।